问题
正如标题所抛出的问题，为何计算机中的运算需要用补码？如果换个问法就是：补码是如何出现的，它又是如何解决运算问题的。
概念
因为计算机的一切都是通过0和1来表示，也就是二进制。而数值又分为有符号数和无符号数，无符号数理解起来，则要相对简单一些，没有符号位，即所有的二进制位都参与值计算，也就是说无符号数表示的都是正数，比如c语言中的unsigned int。
有符号数：数值的最高位表示正负，1表示负，0表示正数，以8位的二进制数为例，10001010表示负数，而00000101则表示正数；
无符号数：最高位是值的一部分，比如10001010换算成10进制就是138。
而有符号数的表示有3种方式：原码、反码和补码。
这里我们先只给出原码概念：
原码：即符号位用 0 表示正数，而用 1 表示负数，其他位表示数值本身。比如：10001010表示-10，00000101表示+5。
分析
在分析之前，首先要明确两点（可以理解为定理）：
- CPU硬件设计时，只有加法运算，没有减法运算，那如何做减法？减一个数看成加一个负数，即：a-b=a+(-b)，其中b为正数。
- 数学中，数可以无限大，也可以无限小，但计算机容量有限，表示不了。故每一种数值类型的都是在一个区间之内的，即：[c, d]，其中c表示下限，d表示上限。
比如，java中byte是8位的有符号数据类型，表示值的范围：[-128, +127]，写了个简单的运算例子，让我们先有一个感性的认识：
@Slf4j
public class TestPrimitiveDataType {
@Test
public void testByte() {
byteSum((byte) 5, (byte) -3);
byteSum((byte) 1, (byte) 127);
byteSum((byte) -1, (byte) -128);
byteSum((byte) 3, (byte) 256);
}
private void byteSum(byte byte1, byte byte2) {
byte byte3 = (byte) (byte1 + byte2);
log.info("byte sum: ({}) + ({}) = {}", byte1, byte2, byte3);
}
}
// output：【运行环境：jdk-14.0.1】
00:03:42.689 [main] INFO org.learning.practice.tmp.TestPrimitiveDataType - byte sum: (5) + (-3) = 2
00:03:42.696 [main] INFO org.learning.practice.tmp.TestPrimitiveDataType - byte sum: (1) + (127) = -128
00:03:42.696 [main] INFO org.learning.practice.tmp.TestPrimitiveDataType - byte sum: (-1) + (-128) = 127
00:03:42.696 [main] INFO org.learning.practice.tmp.TestPrimitiveDataType - byte sum: (3) + (0) = 3
从运算结果可以看出：上限127再加1就变成了下限-128，而下限-128再加上-1则又变成了上限127。咦？我们好像发现了什么。
溢出
既然，数值类型表示的数值有一定的范围，那么计算结果超出了这个范围，会发生什么呢？答案是：溢出。
这也很好理解，要表示的值，计算机做不到，只能出错了。那么问题来了，溢出之后，如何表示对应的值呢？我的总结是：
起始亦是终，首尾互相连。
计算机规定：n位有符号的二进制数，可以表示的取值范围是[-2^(n-1), 2^(n-1) -1]。如果超过上限叫上溢出（overflow）,则从下限-2^(n-1) 开始；超过下限叫下溢出（underflow），则从上限2^(n-1)-1开始。
以4位的二进制有符号数为例，对应的取值范围是：[-8, 7]，我们将其想象成一个圆：【手工绘制，不太好看，(^o^)】
Q: 为什么n位有符号数是取值范围是[-2^(n-1), 2^(n-1)-1]？
A：我们以8位有符号数来说明的话，问题就变成了：为什么8位有符号数是取值范围是[-128，+127]，而不是[-128，+128]或[-127，+127]？
1）如果是8位无符号数，则表示的数是：0000 0000 ~ 1111 1111，也就是[0, 255]，一共256个数，即2^8；
2）而8位有符号数，其第一位是符号位，那么表示正数就是：0000 0000 ~ 0111 1111，即[+0, 127]，一共128个数，正好是上面256个数的一半；
同样，负数应该也是128个，那么就是[-1,-128]，但如果我们用原码来解释：1000 0000 ~ 1111 1111，则范围是[-0, -127]，但这样的话，就出现了两个0了（+0, -0），
而1000 0000等于0111 1111 再加1，前辈们就把1000 0000表示为-128，而不是-0。
3）另外，【-128，+128】或【-127，+127】分别是257、255个数，不是256个数，也是不合理的。
原码–>反码–>补码
但是原码可以解决我们的负数运算问题吗？我们来试试：
// 计算: 5 + (-3)
0000 0101 // 5的原码
+ 1000 0011 // -3的原码
------------
1000 1000 // -8
可以看到：5 + (-3) = -8，这是错误的。所以用原码来表示负数，并进行运算是不行的。
要解决这个问题，还是要重新回到前面的溢出中找答案。从上面4位二进制有符号数的图上可以看出来，数字5往前走16格，就又回到了5，这就相当于取模的概念了。而上限7减去下限-8再加1就是这个取模的除数了：7-(-8)+1=16。
如果[c, d]表示一个数据类型的下限和上限，那么 c-d+1 就是这个数据类型用来取模的除数。
n位二进制有符号数用来取模的除数就等于：2^(n-1)-1 - (-2^(n-1)) + 1 = 2^n 。但2^n 超出了n位二进制数可以表达的上限，所以我们写成：(2^n)-1+1。
在微机原理中，(2^n)-1+1 直接写成了(2^n)，并命名为n位二进制数的模。
那么，5+(-3)=5+(-3)+(2^4) -1+1=5+((2^4)-1-3+1)
// 计算 (2^4)-1-3
111 // (2^4)-1 如果用二进制原码表示就是：1111，不考虑符合位就是111
- 011 // 3
-------
100 // 如果算上符号位，结果就是1100
从结果可以知道，(2^4)-1-3 其实就是对3的原码0011进行了取反，得到1100。
如果我们将(2^4) -1-3命名为-3的 反码，那么继续推导：5+(-3)=5的原码+((2^4)-1-3+1)=5的原码+(-3的反码+1)；
如果我们将“-3的反码+1”命名为-3的 补码，那么就得到：5+(-3)=5的原码+(-3的反码+1)=5的原码+(-3的补码)。
我们用i-j来替换5-3，其中i和j都是正数，那么就可以得到：
i-j = i的原码 + ((2^n)-1-j+1) = i的原码 + (-j的反码 + 1) = i的原码 + (-j的补码)；
进一步，我们将正数的反码和反码都定义跟原码相同，那么：i-j = i的补码 + (-j的补码)，从而也就能推导出：i+j= i的补码 + j的补码。
最后，我们以4位的二进制数为例再来理解一遍补码：
0000 0
0001 1
0010 2
0011 3
0100 4
0101 5
0110 6
0111 7 // 上限
1000 -8 // 下限
1001 -7
1010 -6
1011 -5
1100 -4
1101 -3
1110 -2
1111 -1
0000 0 // 回到了0
...
下溢出，-8 + (-1) --> 1000 + 1111 = 0111，也就是上限7。
于是前辈们便总结出来了补码的取值：
结论
- 计算机无法表示数学中的无限大和无限小的数，所以每类数据类型都有一个取值的数据范围，即：[-2^(n-1), 2^(n-1)-1]。
- CPU中没有减法运算，我们通过加上一个负数来实现减法，并且利用溢出机制，发现可以用补码来实现加法。
未完待续
这篇文章断断续续写了一个星期，但还是没有完全搞懂，虽然结论我记住了。我想着，还是隔一段时间再回来想一想，说不定能闹明白。
- 上面的推导是用一个正数加上一个负数推导出来的，那两个正数的补码相加，如果溢出了，为何正好就等于负数的补码？
- 上溢出之后从下限开始，下溢出之后从上限开始，有的文章解释说，这是根据补码推导出来的，但我们这里是根据溢出推导出的补码，有点矛盾。
参考资料
- 黄申. 程序员的数学基础课：我们为什么需要反码和补码. 极客时间.
- 李继灿. 新编16/32位微型计算机原理及应用（第4版）. 清华大学出版社，2008，34-40.
- 阮一峰. 关于2的补码. 2009年8月5日
- 计算机补码运算背后的数学原理是什么？知乎.